استخدام طريقة المركز الضبابي لحل المعادلات التفاضلية الضبابية الكسرية الخطية من الرتبة{n} مع شروط ابتدائية
الكلمات المفتاحية:
العدد الضبابي، دالة ميتا ليفلر، طريقة المركز الضبابي، المشتقات الضبابية الكسرية من نوع كابوتو، المعادلة التفاضلية الضبابية الكسريةالملخص
تُعَدّ المعادلات التفاضلية الضبابية الكسرية أداة رياضية فعالة لنمذجة الأنظمة الديناميكية التي تتسم بعدم اليقين في البيانات أو المعاملات. ويهدف هذا البحث إلى تطوير منهجية تحليلية لحل المعادلات التفاضلية الضبابية الكسرية الخطية من الرتبة n باستخدام طريقة المركز الضبابي (Fuzzy Centre Method – FCM). تعتمد هذه الطريقة على تحويل المعادلة الضبابية إلى معادلة تقليدية عبر مفهوم المركز الضبابي، ومن ثم إيجاد الحلول باستخدام تحويل لابلاس لمشتقة كابوتو، قبل إعادة بناء الحل الضبابي الكامل.
تم تناول ثلاث حالات للمعاملات: جميعها موجبة، جميعها سالبة، وحالة مختلطة. وقد أظهرت التطبيقات العددية أن الحلول المتحصّل عليها بواسطة طريقة (FCM) تتوافق بدقة مع الحلول المضبوطة (Exact Solutions) عند الحالة r=1، كما أنها تتطابق تقريبًا مع نتائج الطرق البديلة مثل طريقة الجمع والطرح الضبابي (ASFM).
أثبتت النتائج أن منهجية المركز الضبابي تتميز بالمرونة والموثوقية في معالجة مختلف الحالات، كما أنها مدعومة بالحسابات العددية باستخدام برنامج MATLAB مما يعزز مصداقيتها. وتبرز هذه الدراسة كإسهام مهم في توسيع نطاق استخدام الطرق الضبابية الكسرية، حيث توفر إطارًا رياضيًا قويًا لحل مسائل القيمة الابتدائية الضبابية.
وتوصي الدراسة بتطبيق المنهجية المقترحة على المعادلات غير الخطية والأنظمة الضبابية الكسرية متعددة المتغيرات، إضافة إلى استكشاف تطبيقاتها العملية في مجالات الهندسة، الاقتصاد، والعلوم الحيوية، حيث يشكل عدم اليقين عنصرًا رئيسيًا في النمذجة الرياضية
المراجع
"Allahviranloo, T. (2020). Fuzzy fractional differential operators and equations: Fuzzy fractional differential equations. Springer International Publishing".
"Ashat, A. A., Egadi, H. M., & Beitalmal, A. O. (2025). Using the method based on addition and subtraction of fuzzy numbers to solve linear fuzzy differential equations of order n with initial conditions. In The 8th Annual Conference on Theories and Applications of Basic and Biosciences".
"Buckley, J. J., & Feuring, T. (2001). Fuzzy initial value problem for nth-order linear differential equations. Fuzzy Sets and Systems, 121(2), 247–255. https://doi.org/10.1016/S0165-0114(99)00122-3"
"Chakraverty, S., Tapaswini, S., & Behera, D. (2016a). Fuzzy arbitrary order system: Fuzzy fractional differential equations and applications. John Wiley & Sons.
Chakraverty, S., Tapaswini, S., & Behera, D. (2016b). Fuzzy differential equations and applications for engineers and scientists. CRC Press.
Chakraverty, S., Tapaswini, S., & Behera, D. (2016c). Analytical methods for fuzzy fractional differential equations (FFDEs). In Fuzzy arbitrary order system (pp. 15–29). John Wiley & Sons. https://doi.org/10.1002/9781119009305.ch2
Chehlabi, M., & Allahviranloo, T. (2024). Existence of generalized Hukuhara differentiable solutions to a class of first-order fuzzy differential equations in dual form. Fuzzy Sets and Systems, 478, 108839. https://doi.org/10.1016/j.fss.2023.108839
Elgadi, H. M., & Ashat, A. A. (2024). Using the fuzzy centre method to solve nth-order linear fuzzy differential equations with boundary and initial conditions. Sebha University Conference Proceedings, 3(2). https://doi.org/10.51984/sucp.v3i2.3438
Gasilov, N., Amrahov, Ş., & Fatullayev, A. (2009). A geometric approach to solve fuzzy linear systems of differential equations [Preprint]. arXiv. https://arxiv.org/abs/0910.4307
Georgiou, D. N., Nieto, J. J., & Rodríguez-López, R. (2005). Initial value problems for higher-order fuzzy differential equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 63(5–7), e587–e600. https://doi.org/10.1016/j.na.2005.01.123
Ibraheem, R. H. (2022). Solving linear and nonlinear systems of fuzzy differential equations by using differential transform method. Journal of the College of Basic Education, 28(115), 20–37.
Khalouta, A., & Kadem, A. (2019). A new method to solve fractional differential equations: Inverse fractional Shehu transform method. Applications and Applied Mathematics: An International Journal (AAM), 14(2), 926–941. http://pvamu.edu/aam
Mazandarani, M., & Kamyad, A. V. (2013). Modified fractional Euler method for solving fuzzy fractional initial value problem. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 18(1), 12–21. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2012.06.008
Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets. Information and Control, 8(3), 338–353. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X
