دراسة بعض الطرق التحليلية لحل معادلة فريدهولم التكاملية من النوع الثاني
الكلمات المفتاحية:
المعادلات التكاملية، معادلة فريدهولم، النواة القابلة للفصل، طريقة أدوميان، ماتلاب، التقريبات المتتاليةالملخص
تُعد المعادلات التكاملية من أهم الأدوات الرياضية في نمذجة الظواهر الفيزيائية والهندسية، خاصة معادلات فريدهولم من النوع الثاني التي تظهر في مسائل الانتشار الحراري والميكانيكا الكمية. يهدف هذا البحث إلى دراسة مفهوم المعادلة التكاملية وتصنيفها حسب نوع النواة، واستعراض الطرق التحليلية المختلفة لحل معادلة فريدهولم من النوع الثاني، مع تقديم تطبيقات عددية باستخدام برنامج ماتلاب للتحقق من صحة الحلول. تم استخدام أربع طرق تحليلية رئيسية وهي طريقة التحليل لأدوميان، الطريقة المعدلة، طريقة الحساب المباشر للنواة القابلة للفصل وطريقة التقريبات المتتالية. تم تطبيق هذه الطرق على مسائل مختارة وتم إنشاء أكواد ماتلاب لكل طريقة للمقارنة بين الحلول التحليلية والعددية. أظهرت النتائج تطابقاً تاماً بين الحلول التحليلية والنتائج العددية من ماتلاب في جميع الأمثلة المختارة. كما أثبتت الطرق التحليلية وجود ووحدانية الحل تحت الشروط المناسبة. ساهمت التطبيقات العددية في توضيح سرعة تقارب الطرق التكرارية ودقة الحلول المحصلة. تؤكد هذه الدراسة أن الجمع بين الطرق التحليلية والتطبيقات العددية باستخدام ماتلاب يوفر فهماً أعمق للمعادلات التكاملية ويسهل التحقق من صحة الحلول، مما يدعم استخدام هذه المعادلات في التطبيقات العلمية والهندسية المختلفة.
المراجع
J. Jerri, Introduction to Integral Equations with Applications, John Wiley and Sons, INC, (1999).
K. Atkinson, The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind, The press Syndicate of the University of Cambridge, United Kingdom, (1997).
E.R. Love, The Electrostatic Field of Two Equal Circular Co-axial Conducting Discs, Quart J. Mech. Appl. Math. 2, 428-451, (1949).
E. Hopf, Mathematical Problems of Radiative Equilibrium, Cambridge University Press, Cambridge, (1934).
H.G. Kaper, R.B. Kellogg, Asymptotic Behavior of the Solution of the Integral Transport Equation in Slab Geometry, SIAM J. Appl. Math. 32, 191-200, (1971)
N. Qatanani and I. Barghouthi, Numerical Treatment of the Two Dimensional Heat Radiation Integral Equation, Journal of Computational Analysis and Applications, Vol. 7, No. 3, 319-349, (2005).
N. Qatanani , M. Schulz , Analytical and Numerical Investigation of Fredholm Integral Equation for the Heat Radiation Problem, Applied Mathematics and Computation, 175, pp.146-170, (2006)
L. Kantorovich and G. Akilov, Functional Analysis in Normed Spaces, 2nd Edition, Pergamon Press, Translated from the Russian by Curtis Benster, (1982)
P. Collins, Differential and Integral Equations, Oxford University Press Inc, NewYork, (2006).
Muhammad Mujtaba Shaikh (2019), Analysis of Polynomial Collocation and Uniformly Spaced Quadrature Methods for Second Kind Linear Fredholm Integral Equations – A Comparison, Turkish Journal of Analysis and Number Theory. 2019, Vol. 7 No. 4, 91-97DOI: 10.12691/tjant-7-4-1.
Abdul-Majid Wazwaz, Linear and Nonlinear Integral Equations: Methods and Applications, Softcover, ISBN 10: 3642214509 / ISBN 13: 9783642214509, Publisher: Springer, 2012
K. Atkinson, A Personal Perspective on the History of the Numerical Analysis of Fredholm Integral Equations of the Second Kind, The University of Iowa, July 25, (2008).
A. Chakrabarti, S. Martha, Approximate Solutions of Fredholm Integral Equations of the Second kind, Applied Mathematics and Computation, 211, 459–466, (2009).
F. Müller, W. Varnhorn, On Approximation and Numerical Solution of Fredholm Integral Equations of Second Kind Using Quasi-Interpolation, Applied Mathematics and Computation 217, 6409-6416, (2011).
